中文摘要：

自由面追踪问题不仅大量出现在地球物理学、物理海洋学、流体力学、化学和生物等基础学科领域，而且在化学工程、船舶水动力学和材料加工等多个工程领域有着广泛的应用背景，因此对自由面的模拟和追踪是一个既具有重要理论意义又有广泛工程应用价值的课题。本项目拟以前期工作为基础建立和发展高精度的自由面追踪数值模式。该模式不但具有高精度和高效率的优点，还要解决传统的界面跟踪方法中质量不守恒的问题。同时本项目拟以两类具体问题为研究背景，即液滴（气泡）运动和变形的数值模拟以及海洋内孤立波跨尺度演化和变形的数值模拟，检验数值模式的实用性和可靠性，并研究这两类问题中自由面发生大幅度变形过程的动力学特性。

结论摘要：

自由界面追踪问题不仅大量出现在地球物理学、物理海洋学、流体力学、化学和生物等基础学科领域，而且在化学工程、船舶水动力学和材料加工等多个工程领域有着广泛的应用背景。对这类自由界面的模拟和追踪是一个既具有重要理论意义又具有广泛工程应用价值的课题。本项目首先提出了一种新型高精度界面追踪数值方法（界面点群法）。通过该方法得到的界面几何特征（切向量和曲率）及与之相关的动力学变量（界面应力）具有3阶以上的精度。由于当前经典方法对于相关动力学变量的求解精度均不高于1阶，因此本项目提出的界面点群法比现有方法具有更高的精度，这显然有助于更加精确的模拟带自由面的流体运动过程。在对包含自由面的流动的模拟中，流体本身的流动同样需要采用高精度方法进行描述。目前针对不可压缩流动的模拟大多采用优化迎风紧致格式(OUCS)来获得高精度高分辨率数值解。然而该格式仍存在明显不足。OUCS格式达不到其所能达到的最大精度，且需要额外的优化步骤来获取足够的数值耗散。本项目提出了新的5阶精度的迎风紧致差分格式（SUCS5）。该格式具有两大创新点1，SUCS5达到了计算面板所能达到的最大精度；2，SUCS5不需要优化计算就能在获得高精度高分辨率数值解的同时确保数值解的稳定性。在对包含自由面的流动的模拟中，往往还需要求解双曲守恒律类型的方程来研究物质扩散的规律。求解这类问题最成功的方法当属WENO格式。然而该格式仍存在不足 WENO格式在解的光滑区收敛速度过低而在间断附近数值耗散过大。本项目提出了新的WENO-eta格式。在WENO-eta格式中采用了新的局部光滑因子和整体光滑因子。新的局部光滑因子比经典表达式更为简洁，这能显著简化高阶WENO格式的构造。新的整体光滑因子的误差比经典表达式低三个数量级，这个优点使得新的WENO-eta格式在光滑区域临界点附近的收敛速度由传统的3阶提高到5阶，显著地降低了WENO格式的数值耗散。另外，本项目首次采用数学归纳法推导了Lagrangian插值多项式误差的精确表达式。相比经典结果，该表达式实现了两个重要突破。1，避免了经典结果中对未知量的求导，从而可以精确求解误差值；2，新表达式的数值精度比经典结果高2阶精度。依据该精确表达式，本项目成功构建了5阶以上精度的WENO-eta格式。