中文摘要：

本课题主要研究Clifford分析中超复函数的性质、积分表示以及不同类型的边值问题。主要包括(1）Clifford分析中Cauchy型积分算子、奇异积分算子﹑(广义)高阶Cauchy-Pompeiu算子、∏算子以及Bergmann算子的性质和联系；（2）Clifford 分析中高阶Cauchy-Pompeiu 公式及同Helmholtz算子相关联的广义高阶Cauchy-Pompeiu 公式等积分表示；（3）Clifford分析中算子性质、积分表示在边值问题中的应用，如Dirichlet型、Neumann型边值问题和Riemann边值问题以及同Helmholtz算子、Beltrami方程相关联的Dirichlet型、Neumann型和Riemann边值问题；(4) Clifford 分析中k-正则函数的性质及边值问题。本课题试图对经典的Vekua理论和解析函数边值问题理论向高维延伸。

结论摘要：

本项目主要研究了Clifford分析中超复函数的性质、积分表示以及不同类型的边值问题等。主要结果包括（1）Clifford分析中的积分表示，如Clifford 分析中Cauchy-Pompeiu 公式、高阶Cauchy-Pompeiu 公式及同Helmholtz算子相关联的广义高阶Cauchy-Pompeiu 公式等积分表示；（2）带参变量的Plemelj公式及在无穷远点满足一个增长性条件的k-正则函数的推广的Liouville定理；（3）多调和函数的拟均值性质，以Clifford分析中高阶Cauchy-Pompeiu公式为工具，结合Stokes公式给出了Clifford分析中三调和函数的拟均值公式；（4）双调和函数特殊的（ R_m）Riemann边值问题的解的具体表达形式；（5）三调和函数特殊的Riemann 边值问题的解的具体表达形式；（6）同Helmholtz算子相关的拟调和函数特殊的Riemann边值问题的解的具体表达形式；（7）Clifford分析中的特殊的Mobius变换及其性质，如保平面和球面不变性、保对称点不变性及保交比不变性等；（8）Clifford分析中的Schwarz 型引理及Schwarz-Pick型引理；（9）Clifford分析中的无界区域上的Cauchy型积分的性质及Cauchy主值积分的性质; (10) Clifford分析中调和函数的一般Riemann边值问题。本项目实现了对经典的Vekua理论和解析函数边值问题理论中的部分理论向高维中的延伸。