中文摘要：

本项目致力于研究积分变换在凸几何极值问题, 尤其是在Busemann-Petty型问题中的应用.这一研究方向近十年来在国际上空前繁荣并解决了一系列凸几何学中的经典难题, 最著名的当属Busemann-Petty问题及其推广的研究. 而低维广义Busemann-Petty问题的悬而未决正使得该方向的研究进一步走向深化. 着眼于Radon变换和分布的Fourier变换在解决Busemann-Petty型问题时所体现出的强大力量, 本项目利用这两种变换继续研究一些未解决的Busemann-Petty型问题, 并探讨Busemann-Petty型问题与积分变换之间的本质联系. 主要研究内容为 (1)Lp Busemann-Petty问题(2)Koldobsky提出的Busemann-Petty问题的分析推广(3)赋值在Busemann-Petty型问题中的应用.

结论摘要：

在国家自然科学基金青年科学基金（编号11101216）资助下，项目组完成研究论文共计15篇，其中SCI收录2篇，EI收录1篇，国内核心期刊收录6篇，国外期刊收录4篇.主要研究了如下几个方面的问题 (1) 关于Busemann-Petty问题的研究 (a) 关于混合复截面体的研究我们建立了关于复截面体的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。 (b) Busemann-Petty问题的一个几何推广. 我们从Giannapoulos定义的新范数出发给出了Busemann-Petty问题的一个几何推广，并建立了它的解。 (c) \lambda-截面体与推广的Busemann-Petty型问题. 考虑了推广的Busemann-Petty问题，并部分解决了这个问题。 (2) 关于Brunn-Minkowski型不等式的研究 (a)给出了质心体Brunn-Minkowski不等式的一个隔离形式,建立了质心体体积差的Brunn-Minkowski不等式的. (b) 建立了对偶混合体均质积分的Brunn-Minkowski不等式的隔离形式, 推广了对偶Brunn-Minkowski理论的几个不等式. (c) 给出了矩阵形式的Brunn-Minkowski不等式的另外两种推广。 (3) 关于均值积分差的研究 (a)建立了关于Blaschke-Minkowski同态和径向Blaschke- Minkowski同态的均值积分差的Brunn-Minkowski不等式和Aleksandrov-Fenchel型不等式。 (b)将截面体的对偶Brunn-Minkowski不等式以及混合截面体的对偶Minkowski不等式推广到对偶均值差。 (4) 关于Lp-混合仿射表面积的研究 引入了第i个Lp混合仿射表面积和Lp极曲率像的概念，建立了几个与新概念及Lp质心体，p-Blaschke体有关的不等式，获得了关于Lp-混合仿射表面积的Blaschke-Santalo型的不等式。 (5) 关于几何不等式的研究 (a) 关于i弦对称体的几何不等式. (b) 环绕系统中的等周不等式. (6) 若干应用研究 (a)浅析球面直角三角形的相关性质. (b) 渐近线性算子方程指标的应用.