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中文摘要：
该文证明了双向不等式αQ（a,b）＋（1-α）H（a,b）〈T（a,b）〈βQ（a,b）＋（1-β）H（a,b）和λ/H（a,b）＋（1-λ）/Q（a,b）〈1/T（a,b）〈μ/H（a,b）＋（1-μ）/Q（a,b）对所有a,b〉0且a≠b成立的充分和必要条件是α≤5/6,β≥2√2π,λ≤0和μ≥1/6.其中Q（a,b）=√（a^2＋b^2）/2,H（a,b）=2ab/（a＋b）和T（a,b）=2/π∫0^π/2√a^2cos^2θ＋b^2sin^2θdθ分别表示正数a和b的二次平均,调和平均和Toader平均.
英文摘要：
We prove that the double inequalities αQ（a,b）＋（1-α）H（a,b）〈T（a,b）〈βQ（a,b）＋（1-β）H（a,b） and λ/H（a,b）＋（1-λ）/Q（a,b）〈1/T（a,b）〈μ/H（a,b）＋（1-μ）/Q（a,b） hold for all a,b〉0 with a≠b if and only if α≤5/6,β≥2√2π,λ≤0 and μ≥1/6.Here,Q（a,b）=√（a^2＋b^2）/2,H（a,b）=2ab/（a＋b） and T（a,b）=2/π∫0^π/2√a^2cos^2θ＋b^2sin^2θdθ denote the quadratic,harmonic and Toader means of two positive numbers a and b,respectively.
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