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中文摘要：
研究非线性科学中出现的奇异与退化的椭圆型与抛物型偏微分方程与方程组以及相关的特征值问题，特别是由方程（组）中的系数函数、非线性项、未知函数或其梯度函数引起的奇性或退化的情形以及与其相关的线性和非线性特征值问题。开展对该类问题的定性研究和部分定量的研究，诸如解的存在性与非存在性、唯一性与多解性、解的正则性与渐进性质以及解的奇性分析等；并考虑该类算子的特征值和特征函数的存在性、与解的关系及分叉理论。在使用传统的非线性理论和方法的基础上，对其不断修正、补充和发展。通过对该课题的研究，希望对奇性与退化的方程现有的理论和方法有新的发现与发展，从而丰富偏微分方程的理论，并对出现在非线性科学中的一些非正常现象有合理的解释，以便加强和提高对这些现象的数学建模和模拟的可靠性和精确性。
结论摘要：
本项目主要致力于来源于非线性科学中的退化或具有奇性的半线性和拟线性方程（组）的研究，并涉及与其有关的特征值问题和非退化或不带有奇性的方程。关于这类椭圆型方程的定解问题，得到了弱解的促耐性与非存在性，解的唯一性和多解性以及正则性，并对解的整体分歧现象进行了仔细的分析。对于具有奇系数或奇位势的椭圆型方程的特征值问题，研究了特征值和特征函数的性质，包括主特征函数的恒正性，特征函数空间的一维性，特征值的上界估计等问题。对于退化和具有奇性的抛物型方程及方程组，我们得到了弱解的存在性，正则性以及与其有关的一类双曲组的整体熵解的存在性和正则性等问题。对旋转流体做了对称分析并考察了非牛顿流，应用李群和李代数的方法对旋转流体的不稳定方程进行了分析。另外，用直接方法研究了Navier-Stoks方程的李对称，讨论了Navier-Stokes方程解的对称变换。所有这些工作都与目前国际研究工作的趋势紧密结合。例如，对一类退化抛物型方程的弱解的正则性的研究，我们把别人刚刚得到的正则性的范围进一步扩大；是我们首次把打靶法由于非线行方程组的讨论，得到解的存在性和正则性。在报告正文中，将详细阐述这些成果及其意义。
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