中文摘要：

随机偏微分方程因其在描述复杂系统中各种来自系统内部或者外部扰动上独特的优势，而作为强有力的数学模型被广泛应用于如物理、化学、生物、金融等各种分支上。本项目将从应用和理论分析两个方面同时入手进行研究（1）随机偏微分方程常常不存在显示性解析解，因此寻找精度较高，可行性较强的随机偏微分方程方程数值解的意义就格外突出。本项目的目的之一就是通过研究带有非线性项的随机偏微分方程的Besov空间正则性，建立适应小波数值解；（2）湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动，被称为"经典物理学中最重要的未解决问题之一"。本项目的另一个目的是，从概率论的角度，通过研究三维带有强非线性项的随机Navier-Stokes方程的遍历性或某种意义下平稳测度的唯一性，更好的理解湍流现象，并回答一些物理实验已经证实的结果，如雷诺试验所揭示的流体的遍历性规律。

结论摘要：

随机偏微分方程是概率论中的一个活跃分支，并被广泛应用到金融，生物等学科。 本项目是从随机偏微分方程的的理论和应用两个研究方向同时入手。 在理论方面，我们要研究的问题是3维Navier-Stokes方程的遍历性和平稳不变测度的是否有唯一性。这个问题的研究意义在于流体力学中的湍流现象表明遍历性的存在。而确定性3维Naiver-Stokes方程全局解的存在唯一性仍是一个公开问题，这给研究湍流带来困难。而3维随机偏微分方程可以较好的刻画湍流的随机性，同时相应解的存在唯一性已有结果，因此解遍历性可试用概率的方法证明。这个方向我们主要的结果是给出了随机OU过程轨道右连左极修正。这个结果不是平凡的，因为我们考虑的随机外力是存在间断跳的Levy噪声，之前关于连续型白噪声的相关结果不能直接推广。这个结果的意义在于给出通过验证解的强Feller性和不可约性证明遍历性的可能性。原因就在于强Feller性和不可约性是建立在方程的解具有马氏性的基础上，而马氏性需要解具有右连左极的修正。同时证明过程中定义的停时也需要解具有这样的轨道修正。 在应用方面，我们研究的问题是如何把确定性双曲方程中小波数值解法扩展到随机偏微分方程中。这个问题的研究意义在于随机偏微分方程的解常具有奇异性，而常用的数值方法都是进行等间距的离散化，这样的逼近精度较差。而适应小波数值方法可以利用解的空间Besov正则性进行不等间距的离散化，从而提高精度。我们的主要结果是把随机函数进行了小波基下的展开，证明了随机函数空间Besov正则性与小波基展开系数间的充分必要条件。这个结果的意义在于我们建立的充分必要关系是适用于Besov空间指数p<1的情况，这正是适应小波数值方法提高精度的关键。当我们先对随进偏微分方程进行时间上的离散化后，空间上的离散依赖与相应离散方程解的空间Besov正则性，我们的结果不仅给出了正则性的充要条件，还给出一个具体的有意义的离散方法。