中文摘要：

在本项目中，我们将利用谱序列(主要包括Adams谱序列、May谱序列等)、Massey积、有序链复形等代数拓扑知识以及有关p进制表示等数论知识，在球面稳定同伦群新元素族的发觉、模p Steenrod 代数A的上同调的决定（主要包括完全决定4维上同调群、找到若干高维的非平凡元素族等）、收敛到twisted de Rham上同调的谱序列的高阶微分的表示形式等方面开展研究工作。研究球面稳定同伦群是近几十年来代数拓扑中的一个中心问题，它对代数拓扑本身及其他许多数学分支都有着重要的作用；模p Steenrod代数A的上同调是我们利用经典Admas谱序列来研究球面稳定同伦群时首先面对的代数问题，它是决定球面稳定同伦群的最重要数据；在收敛到twisted de Rham上同调的谱序列的高阶微分的研究中，我们将扩充Atiyah与Segal的相关结果，得到该谱序列在更一般情况下的高阶微分的统一表达公式。

结论摘要：

在本项目中，我们利用谱序列(主要包括Adams谱序列、May谱序列等)、Massey积、有序链复形等代数拓扑知识以及有关p进制表示等数论知识，在球面稳定同伦群新元素族的发觉、模p Steenrod 代数A的上同调的决定（主要包括完全决定4维上同调群、找到若干高维的非平凡元素族等）、收敛到twisted de Rham上同调的谱序列的高阶微分的表示形式等方面开展研究工作。 1、研究球面稳定同伦群是近几十年来代数拓扑中的一个中心问题，它对代数拓扑本身及其他许多数学分支都有着重要的作用。在本项目中，我们得到了一系列研究成果，共发掘8族球面稳定同伦群的新元素族。例如$(b_0h_n+h_1b_{n-1})h_m\tilde{\beta}_{s+2}$-同伦元素族、$(b_0h_m+h_1b_{m-1})h_n\tilde{\beta}_{s+2}$-同伦元素族、$\zeta _{n - 1}\beta _{1}\beta _{s+2}$-同伦元素族、$\zeta_{n-1}\beta_2\gamma_{s+3}$-同伦元素族等。这些都是球面稳定同伦群的重要成果。 2、 模$p$Steenrod代数的上同调是我们利用经典Adams谱序列研究球面稳定同伦群首先面对的问题，因而其是我们决定球面稳定同伦群的最重要的数据。在本项目中，我们得到了一系列成果，证明在 模$p$Steenrod代数的上同调中存在非平凡的$h_0h_n \tilde \delta _{s + 4}$-元素、$h_ng_0\tilde{\delta}_{s+4}$-元素、 $h_n h_m \tilde\delta _{s + 4}$-元素、$b_0k_0\tilde{\delta}_{s+4}$-元素。这些为我们发掘球面稳定同伦群的新元素族奠定了基础。 3、 在收敛到twisted de Rham上同调的谱序列的高阶微分方面，我们考虑更一般的情况，利用Massey 积，通过我们定义的特定元素(specific element)来给出谱序列的高阶微分的统一表达公式，扩充Atiyah 与Segal 的相关结果。 除了这些，我们也得到了有理同伦论方面的一些结果。