中文摘要：

热核理论自从数学家棣莫弗（ABRAHAM DE MOIVRE）于1733年发现高斯-魏尔斯特拉斯(GAUSS-WEIERSTRASS)函数以来，有近三百年的研究历史。热核在数学物理、几何学、概率学和随机过程理论、分形几何、图论、函数空间理论等诸多数学研究领域起着极其重要的作用, 在工程、物理、经济、生物等领域有很强的实际应用背景，属数学科学领域的交叉前沿研究课题，有重要研究意义。本项目的研究目标是（1）研究一般度量空间上热核估计的若干等价条件，进一步发展和完善一套新的分析理论和研究工具；（2）解决某些重要分形集上狄氏型的构造及对应的热核估计，以及这些热核的计算机近似模拟;(3)研究某些分形集上具有重大意义的偏微分方程;(4)解决与热核相关的其它研究领域某些相关重大和前沿问题；（5）在国际顶尖和一流数学刊物上发表研究成果；（6）参加国内外学术会议，广泛展开国内外学术交流，培养年轻人才。

结论摘要：

本项目研究分形集上热核及其应用，属于数学交叉课题，是目前国际数学领域研究和关注的焦点之一。本项目基本完成预定目标，达到预期目的，共发表文章2篇，专著一本，另有5篇论文已被国际高水平数学期刊（如美国数学会会刊，加拿大数学杂志）接受发表，培养博士生6名（两名已毕业，4名在读），硕士生两名（在读）；同时，项目组成员多次参加国际会议和出国访问，从而了解该领域国际最新动态。 A）发表论文 1）K.J. Falconer, Jiaxin Hu, and Yuhua Sun, Inhomogeneous parabolic equations on unbounded metric measure spaces， Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 142A (2012), 1003-1025. 2） Eryan Hu, Lower Inequalities of Heat Semigroups by Using Parabolic Maximum Principle，Acta Mathematica Scientia 2012,Vol. 32B(4)，1349-1364. B）专著:《分形分析引论》, 胡家信著, 科学出版社，2013. C) 接受发表论文(代表作2篇) 1）Alexander Grigoryan，Jiaxin Hu and Ka-Sing Lau，Estimates of heat kernels for non-local regular Dirichlet forms, Trans. Amer. Math. Soc. （to appear). 2）Alexander Grigoryan，Jiaxin Hu，Heat kernels and Green functions on metric measure spaces, Canadian J. Math.（to appear).