中文摘要：

利用临界点理论、Morse理论、Conley指标理论等现代非线性分析方法，对自共轭离散系统的边值问题、周期解、同宿轨及异宿轨的存在性与多重性进行研究。对不同类型的自共轭离散系统建立相应的基本函数空间与合适的变分结构，研究其周期解的最小周期、边值问题的正解存在性。对非自共轭离散系统边值问题，将其转化为代数方程，利用拓扑度理论、不动点理论及矩阵理论等，通过对代数方程的研究，得出原问题的相关结论。对一些

结论摘要：

本课题考虑了几类离散非线性边值问题，通过建立相应的基本函数空间与适当的变分框架，利用临界点理论、格林函数法和强单调算子原理等非线性分析方法，证明了这些边值问题至少存在一个或多个非平凡解；对于自治和非自治离散哈密顿系统，在较弱的条件下，证明了其非平凡周期解和次调和解的存在性；将时滞微分方程及差分方程3/2稳定性的最佳结果推广到了时标上时滞动力方程，同时，在时标动力方程中首次引入弱解的概念，通过建立时标动力方程的变分框架，将临界点理论首次应用于时标动力方程的边值问题；利用拓扑度理论及分析技巧，获得了二元非线性时滞神经网络模型的全局指数稳定性和一类非自治离散神经网络模型周期解的存在性及存在全局渐近稳定周期解的条件。