中文摘要：

本项目研究非线性椭圆型和抛物型偏微分方程解的凸性性质及其金融应用。研究内容包括非线性椭圆型和抛物型偏微分方程（相应的积分-偏微分方程）解的凸性、解的拟凸性(解水平集的凸性)和自由边界的凸性，以及这些凸性性质在最优投资消费等金融数学问题中的应用。我们将研究椭圆型方程凸解的存在性和抛物型方程解凸性的保持。我们讨论偏微分方程古典解的凸性性质，同时，结合金融数学的随机模型，讨论偏微分方程粘性解的凸性性质。研究工作的核心是偏微分方程古典凸解的常秩定理、双变量极值原理和粘性解的比较原理。

结论摘要：

主要研究与“非线性偏微分方程解的凸性和金融数学应用”有关的一些问题。研究的重点是具有随机控制和金融数学背景的非线性椭圆型和抛物型偏微分方程古典解、粘性解的凸性、凸性保持及其在金融问题中的应用。我们着重研究了贝尔曼方程等金融衍生产品定价和投资效益优化等金融数学问题中出现的模型方程和粘性解相关理论，也研究了与此相关的偏微分方程反问题（其模型为完全非线性方程组）和偏微分方程自由边界问题。