中文摘要：

我们对完全非线性椭圆方程解的凸性有新的贡献，解决了经典几何与凸体理论中的几个同行长期关心的曲率问题。对最优的质量运输问题，我们引进了一个几何量（现在叫做Ma-Trudinger-Wang张量），并在此张量严格正的条件下，得到了位势函数的正则性（Loeper证明了此条件也是必要的），A. Figalli在2009年6月的BOURBAKI讨论班作了专门介绍。Ma-Trudinger-Wang张量在最近5年来的最优运输问题的研究中扮演了基本角色。我们还得到了调和函数凸水平集的高斯曲率用区域边界几何所表示的最优下界估计。我们研究了K?hler几何中的完全非线性偏微分方程。我们的部分研究方法和结果已成为相关领域中的基本文献，特别是我们的工作在2010年Fields奖得主Villani关于最优运输问题的研究中占了重要位置。

结论摘要：

我的主要研究领域为非线性椭圆方程和几何分析.此领域是二阶椭圆与抛物偏微分方程研究的进一步深入，它同时与几何应用紧密相关。非线性椭圆方程经过80年代的大的 发展，在近三十多年来更关注解的更细致性质与具体几何问题相关的研究，如方程解的正则性与奇性，解的分类，性质与形状估计等以及他们的几何应用。我的近几年的研究主要分两部分，第一部分是关于偏微分方程解的几何形状主要是椭圆与抛物偏微分方程解的水平集的凸性及其估计。第二部分是非线性椭圆偏微分方程的Neumann问题解的存在性。 对于偏微分方程解的几何形状我们专注于凸性方面。 经Gabriel，Lewis等人的工作我们已知欧氏空间高维有界凸区域的Green函数的水平集是严格凸的，一个问题是我们是否能通过区域边界的定量信息来得知区域内方程解的水平集的定量曲率估计。Longinetti,Talenti等得到了二维Green函数水平集的曲率估计。 近几年以来我们给出了高维情形的调和函数凸水平集的高斯曲率的用边界几何所表示的下界最优估计。自然出现抛物方程的类似问题，即如何在给定初始条件，边值和区域的几何下，我们有对解的更好的几何认识。陈传强，Salani（意大利Firenze大学）和我得到如下定理，如果凸环上给定常数边值，如果初值函数的水平集是凸的并且是下调和函数，则热方程解的水平集是时空联合严格凸。 第二部分我们关心椭圆偏微分方程的Neumann边值问题的可解性。非线性椭圆方程的Dirichlet问题已经有许多研究，如1960年代对平均曲率方程Serrin等建立了较完整理论。在80年代非线性椭圆方程的Dirichlet边值问题理论有很大进展，如对于Monge-Ampere方程和Hessian方程的Dirichlet问题，Caffarelli-Nirenberg-Spruck；Krylov等在84-86年有整体光滑解的存在性定理。86年Lions-Trudinger-Urbas对Monge-Ampere方程的Neumann问题得到整体光滑解的存在性定理。Trudinger在87年猜想在严格凸区域中Hessian方程的Neumann问题存在整体光滑解。我们首先与徐金菊给出平均曲率方程Neumann问题的存在性。然后与邱国寰合作给出Hessian方程Neumann问题的Trudinger猜测的正面回答。