中文摘要：

由美国的次贷危机引发的全球金融风暴显示，应该加大对金融机制的研究和监管. 研究金融的数学工具主要是随机分析和偏微分方程.自由边界问题是一个含有未知边界的偏微分方程的定解问题。本项目主要研究具有金融背景的自由边界问题。第一个研究对象是拟变分不等式,它的特点是约束条件中也含有未知函数.有非常多的具有金融背景的拟变分不等式等待我们去研究。我们主要研究自由边界的性质,由此才能构造出最优实施策略.这是偏微分方程和金融数学中至今尚未解决的问题. 第二个研究对象是可转股债券,该债券的持有者在和约规定的到期日可收回投资本金与和约规定的利息.同时持有者有权在和约规定到期日之前按事先约定的价格转换成公司的股票.因此可转股债券是一种既具有固定收益,又具有权益特性的混合型金融产品.既然是金融产品就需要合理定价,本项目首先利用随机分析的方法建立变分不等式模型，然后分析自由边界的性质,构造公司和投资者的最佳实施策.

结论摘要：

本项目研究具有金融背景的自由边界问题具有固定交易费的投资消费问题和可转股债券的定价问题。对于第二个问题的研究得到了预期的结果。但对第一个问题，经过1年多的研究没有实质上的进展。 另一方面在阅读文献的过程中我们发现，同时具有函数约束和梯度约束的变分不等式不但具有金融意义，同时具有概率背景，在偏微分方程领域中也具有很大的难度。通过1年的研究，我们技巧性地证明了解的存在性，并且证明了两条自由边界都是无穷次可微的。该论文已发表在 SIAM J Control Optim. (2012) 上. 该结论的金融意义是在什么情况下企业应该继续原有的生产，或者调整生产规模，或者停止生产。 可转股债券的定价问题的金融意义是在什么情况下债券持有人应将债券转换为发行公司的股票；在什么情况下发行债券的公司应该回购债券；在什么情况下债券持有人继续持有债券，不将债券转换为发行公司的股票，而且发行债券的公司也不回购债券。