中文摘要：

本项目主要研究在最坏框架下[-1,1]上带有Jacobi权的Sobolev类的宽度问题，以及平均框架下[-1,1]上和单纯形T^d上的加权Sobolev空间的函数逼近问题，给出两种框架下Sobolev空间的函数逼近、宽度、最优求积及最优恢复的渐近阶，再通过比较两种不同框架下函数的逼近和恢复的异同点，说明平均框架更接近实际应用。研究内容在函数空间理论、逼近论、数值分析、计算复杂性等领域都有重要的理论意义和广泛的应用价值。

结论摘要：

本项目主要研究了在最坏框架下[-1,1]上带有Jacobi权的Sobolev空间的宽度问题，以及平均框架下[-1,1]上加权Sobolev空间的函数逼近问题。在最坏框架下得到了加权Sobolev空间在加权的L_q (1≤q≤∞)空间中的Kolmogorov宽度和线性宽度的渐近最优阶。在平均框架下得到了加权Sobolev空间被多项式子空间和Fourier部分和算子逼近的平均误差估计的渐近阶。并且比较了两种不同框架下函数逼近的异同点，发现了在平均框架下多项式子空间和Fourier部分和算子在加权的Lebesgue空间尺度L_q下只有当q小于某一临界值时是渐近最优的线性子空间和渐近最优的线性算子。另外，还研究了在概率框架下，球面S^d上的函数逼近，证明了Fourier部分和算子和Vall$\acute{e}$e-Poussin算子在Lebesgue空间尺度L_q(1≤q≤∞)下是阶最优的线性算子，球面多项式子空间在Lebesgue空间尺度L_q(2