中文摘要：

本课题拟讨论复微分方程、复差分方程解的各种性质，包括解析性质、动力学行为和渐近状态等。微分方程的解析理论与物理有着诸多联系，它和非线性媒质中的波理论相互影响共同发展。Painlevé微分方程的超越解对于非线性理论就如同经典特殊函数对于线性理论一样重要，相关结果能广泛应用于物理、随机矩阵模型和各种统计学现象中。近年来，复差分方程理论受到越来越多的关注，成为热门的新方向。许多物理模型就是差分方程，很多特殊函数的性质也由差分方程表示。Painlevé微分方程和离散Painlevé方程一直都是数学和物理学中的重要研究对象，差分Painlevé方程是它们发展的必然趋势。此外，我们还将研究线性微分方程解的性质在函数惟一性理论中的应用，也涉及了分数次微分方程的解研究。本课题是瞄准现代分析前沿的研究项目，将深化拓展复微分方程和复差分方程的相关研究,具有重要的理论意义和应用价值。

结论摘要：

微分方程、差分方程理论与物理有着诸多联系，相关结果广泛应用于物理、随机矩阵模型和各种统计学现象中,本项目综合利用复分析中的理论和方法研究了复微分方程、复差分方程解的各种性质，主要结果涉及解的解析性质、动力学行为和渐近状态 (1) 将复动力系统理论与微分方程复振荡理论结合起来，讨论了线性微分方程整函数解的Julia集径向分布行为，以及两个线性无关解的乘积是否存在Baker游荡域； (2) 讨论了一类函数方程，特殊情况下它会退化为复差分方程和q-差分方程，给出了亚纯解的增长级下界估计，以及解的增长级和极点收敛指数之间的关系； (3) 讨论了线性微分方程亚纯解的零点和不动点性质，更一般地，就解生成的微分多项式与小函数的关系作出了完整的描述； (4) 研究了正交多项式的渐近性质，由于正交多项式满足一定的微分方程或差分方程，有助于了解微分方程或差分方程的解析性质； (5) 讨论了一类偏微分方程解析解的存在性，得到该方程有解析解的充分必要条件，并对解析解的增长性给出了估计，建立起级和型的公式； (6) 建立一类复合资产驱动的期权价格函数在带交易费时所满足的分数次Black-Scholes方程，并利用保险精算法得到欧式期权定价公式。