中文摘要：

解析函数空间上算子理论是泛函分析领域的重要研究内容，与概率论、信息论、微分方程等方向有广泛的联系，是经典函数论与算子理论的成功结合，近年来受到人们的极大关注.本项目将研究解析函数空间（如Dirichlet空间、Bergman空间）上Toeplitz算子的代数性质与分类、谱、不变和约化子空间等问题.通过Sobolev空间作适当的分解，将Dirichlet空间上一般Toeplitz算子问题转化为调和符号的算子问题，解决Dirichlet空间上Toeplitz算子的交换性、正规性、谱和换位等问题.进而研究Bergman空间上一般符号Toepolitz算子的类似问题.研究一些解析Toeplitz算子的约化子空间或移位的不变子空间问题,给出其分类和函数论刻画.研究Toplitz算子代数的结构，换位子和半换位子理想，并使用这些结果研究算子的Fredholm性质，以及和算子的酉等价或相似分类问题.

结论摘要：

本项目于2009年10月获准立项后，三年来，项目组成员齐心协力，按照申请计划，在学术研究、学术交流、人才培养等方面努力工作，基本达到了预期目标。我们着重在Toeplitz算子的代数性质、乘法算子的酉等价、不变与约化子空间、Toeplitz算子的换位子与半换位子等方面作了重点研究。另外，我们也关注当前算子理论和算子代数的一些其他热点问题，如C*代数的迹秩、加权复合算子的有界性、紧性、Fredholm性质等问题。主要获得如下结果。 (1)给出Sobolev空间的一个分解定理，证明了Sobolev空间中调和函数的正交补部分是乘法不变的；使用这个分解建立了Dirichlet空间上Toeplitz算子的有限乘积与Hardy空间上Toeplitz算子的有限乘积的简明联系；利用这个方法，对Dirichlet空间上Toeplitz算子的代数性质作了系统研究。 (2)给出了有限Blaschke积符号乘法算子在Dirichlet空间上酉等价于多重加权移位的完全刻画. (3) 研究了解析Hilbert空间的拟游荡性质。证明了d维复欧式空间的单位球上具有酉不变完全NP再生核的解析Hilbert空间的任意不变子空间具有拟游荡性质，即不变子空间的正交补在移位作用下的像在不变子空间中的投影是不变子空间的生成子。 (4) 证明了Dirichlet空间的任意两个不变子空间是酉等价的当且仅当它们是相等的，对Dirichlet空间的不变子空间的刚性问题给出完整的解答，对前人相关研究作出本质改进。项目组近三年发表学术论文22篇，其中SCI检索8篇; 培养硕士研究生21名, 其中毕业15名；承办了“第三届全国算子理论与算子代数会议”；参加学术会议10余人次，邀请10余位国内外专家来校讲学；在此期间1名成员获得博士学位，三名成员评上副教授职称。