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中文摘要：
金融数学在我国是一个发展中的学科，它在银行，股票市场，期货市场，保险业中都具有广泛的应用前景。自由边界问题是一个含有未知边界的偏微分方程的定解问题。由于未知边界的存在，使得所有自由边界问题都是非线性问题。本项目主要研究具有金融背景的自由边界问题。其中包括在投资消费模型中由奇异随机控制产生的HJB方程，它是由两个一阶偏微分不等式作为约束条件的变分不等式，方程是非线性蜕化抛物的。问题中的卖区与非交易区，非交易区与买区的分界线都是未知的自由边界。另一个问题是与抵押贷款有关的期权定价理论，其中的提前支付边界和违约边界也都是未知的自由边界。其数学理论具有很大的难度。我们将首先研究自由边界问题解的存在唯一性，更重要的是自由边界的性质，其中包括光滑性，凸性，单调性以及在到期日附近的渐近展开式。本项目一方面丰富和发展非线性偏微分方程的理论，另一方面体现偏微分方程是研究金融数学的一个强有力的工具。
结论摘要：
英文主题词Mathematical finance; free boundary problem; stochastic control; option pricing.
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