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中文摘要：
研究高阶变分不等式问题新有限元模式、收敛性分析和数值计算的框架。构造新的简单有效元，利用"双参数法"自由度小又能兼顾收敛性的绝对优势，研究变分不等式的双参数元的多重网格、区域分解以及并行算法等各种新的计算方法，特别注重新的热点各向异性元（即不满足网格剖分的正则性条件）的开发，解决四阶位移障碍问题中二个关键问题即原始条件是精确解在求解区域内几乎处处大于或等于一个障碍函数，相应地要求精解的有限元插值在单元顶点满足该条件，那么当网格加密时，如果其单元顶点正好落在不满足上述约束的那个零测集上时，如何进行有限元分析；对"单元顶点函数值不连续"以及"分离不出顶点连续部分"的有限元分析；四阶曲率障碍问题除了目前国际国内仅有的一个Morley元应用以外，其他已有板单元及新单元的研究；具有复杂结构模型的接触问题等。这些都是新问题，具有重要理论意义和应用价值，国际国内上申请者无见相关报道。
结论摘要：
给出了判别单元具有各向异性特征的一般性框架和基本插值定理,并证明了许多著名单元的各向异性特征；与石钟慈院士一起攻克了G. Acosta & R.G. Duran于2001年在SIAM J. Numer. Anal.杂志上提出的一个Open problem，即我们用一个反例证明了其中的弱条件不是凸四边形上等参元Q1具有H1模最优估计的必要条件，而在此前国内外曾有许多著名学者在国际著名SCI杂志上猜想或试图证明它是必要条件；构造许多新的自由度小、简单、高效单元尤其是各向异性双参数元并应用于Stokes问题、平面弹性问题、Signorini问题、位移障碍及曲率障碍下变分不等式问题、变网格方法和超收敛性等研究；分别构造了一个各向异性Quasi-Carey三角形元和任意四边形元，分别证明了具有相容误差比插值误差高一阶和二阶的特殊性质；解决了林群院士在2006年《Appl.Math.》上提出的Stokes特征值问题混合有限元方法在各向异性网格下的零模估计这一Open problem。
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