中文摘要：

研究内容1)研究非完整系统广义伯克霍夫逆问题，构造该类系统的自伴随广义伯克霍夫方程，并根据偏微分方程可积性理论发展广义伯克霍夫函数（组）的构造方法。2)发展广义伯克霍夫方程的积分理论，构造这类方程的Ｂ-Ｈ-Ｊ积分法，并应用于非完整系统。3)研究广义辛流形结构以及广义辛流形上的对称约化，结合非完整系统广义伯克霍夫化，构造非完整系统的广义辛约化方法。4)基于广义辛流形和泊松流形，构造一种保结构算法-广义辛算法，并将其应用于非完整系统的保结构算法研究。研究意义1)突破用约束流形上基本2-形式的非闭合性表示系统非完整性的传统方法，将非完整性表现为广义辛形式的非正规性，实现非完整系统运动方程的自伴随表示广义伯克霍夫方程。2)发展伯克霍夫函数的构造方法，实现广义伯克霍夫方程的普适积分法。3）开辟了非完整系统对称约化的新途径-广义辛约化方法。4)将非完整系统的保结构计算从辛算法拓展到广义辛算法。

结论摘要：

运用几何动力学方法，研究非完整系统的Birkhoff逆问题和广义Bikrhoff逆问题，对称约化以及非完整系统的数值计算，研究内容分为四个方面（1）Birkhoff函数组与广义Birkhoff函数组的构造方法根据偏微分方程的Cauchy-Kovalevski可积性定理，将欠定的Birkhoff方程组转化为以Birkhoff函数组为未知变量的完备的偏微分方程组，提出了构造Birkhoff函数组的参数调节法。我们还得到了构造约束动力学系统Birkhoff方程的待定张量法和简化的Santilli 第二方法，以及构造完全可积动力学系统Birkhoff函数组的广义Hojman方法。（2）非完整动力学系统的Birkhoff逆问题与广义Birkhoff逆问题基于Chaplygin非完整系统的非齐次Hamilton方程及其近泊松几何结构，实现了非齐次Hamilton方程的Birkhoff化与辛化。利用Cauchy-Kovalevski可积性定理和Poincare逆引理，构造了高阶非完整约束系统的广义Birkhoff方程及其广义辛几何结构。（3）约束动力学系统的几何数值积分基于离散Pfaff-Birkhoff原理给出了一般Birkhoff系统的一种新的数值计算方法——离散Birkhoff变分积分方法，该方法具有保持Birkhoff系统一般辛几何结构的特点，能够得到较好的数值结果。另外，通过构造Hojman-Urrutia方程的Birkhoff表示及其一般辛结构，采用离散变分方法研究了Hojman-Urrutia方程的数值解法，证明了在Birkhoff系统的一般辛几何结构框架下进行数值离散这类不具有简单辛结构的非Hamilton系统可以得到更可靠和精确的数值结果。（4）非完整系统广义辛结构的构造与对称约化通过构造Chaplygin非完整系统的广义辛几何结构，在广义Birkhoff动力学框架内实现了非完整约束系统的对称约化研究。并进一步研究了对称约化对非完整系统数值积分的影响。通过数值实验发现对称约化对完整系统的数值积分结果没有本质的影响，并且在约化后的系统下进行数值积分可以有效地减少程序编写的难度和计算机的计算时间。