中文摘要：

本项目拟首先研究变指数的条件和Banach空间E满足的条件使得取值于Banach空间E的变指数Lebesgue空间是UMD空间（无条件鞅差空间）。然后研究取值于Banach空间E的抛物型方程在变指数Lebesgue空间和Sobolev空间等的极大正则性理论。同时通过仿积算子来研究变指数Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的点态乘积估计，由此在变指数Besov空间和Triebel-Lizorkin空间上研究Nemytskij算子。最后在变指数空间内研究非线性逼近和变指数复Hardy空间的边界收敛性质。关键是变指数的条件和Banach空间E满足的条件使得相应的取值于Banach空间E的变指数函数空间为UMD空间，变指数Besov空间和Triebel-Lizorkin空间上的点态乘子估计。这些性质的建立将丰富函数空间的理论并将促进变指数函数空间的研究和应用。

结论摘要：

本课题取得的主要成果在三个方面. 首先在变指标函数空间的理论, 建立了向量值的Hardy-Littlewood极大算子在变指数Morrey空间和Herz型空间上的有界性, 然后利用此结果得到了新的变积分指标的Besov和Triebel-Lizorkin空间, 变指数Morrey型Besov和Triebel-Lizorkin空间, 变指数Herz型Besov和Triebel-Lizorkin空间的等价范数刻画, 以及变指数Morrey型Besov和Triebel-Lizorkin空间的原子, 分子及小波分解刻画. 讨论了取值于Banach空间内的变指标Bochner-Lebesgue空间的对偶空间, 自反性, 一致凸或一致光滑的, 相应的变指标Bochner-Sobolev空间的一致凸或一致光滑的, 以及更一般的取值于Banach空间内的变指标Bochner-Musielak-Orlicz空间的对偶空间, 一致凸或一致光滑的. 作为应用, 得到了２维耗散准地转方程在齐次Morrey型Besov空间内对时间的全局解的存在性和唯一性. 其次在带权的正交多项式理论, 给出了全实轴上关于雅可比-指数权函数的p次Lebesgue范数Christoffel型函数的上下界的精确估计. 给出了在区间(-1,1)上关于特定指数权函数的正交多项式的界, 零点及Christoffel函数的精确估计. 最后在复函数空间理论, 建立了区域上的亚纯函数族的一些新的正规定则, 得到了亚纯函数涉及4个分担值时的唯一性结果以及一类高阶微分方程的解的增长性.