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中文摘要：
为为 John 基础的 zonotope 的体积的更低的界限被球给了。在这份报纸，球鈥檚 不平等的一个简单证明首先被提供，然后，球的结果从 John 基础被概括到完整的非零向量的一个序列等级。而且，为 zonotopes 的体积的上面的界限被给。最后，不平等为某个 zonotope 的 inradius 和外接圆半径被推出。关键词 zonotope -John 基础 - quermassintegral - mixedvolume - masspoint 系统 MSC20OO 52A40 - 中国(资助号码 10271071 ) 的国家自然科学基础部分地支持的 52A20 工程
英文摘要：
The lower bound for the volume of the zonotope for John-basis had been given by Ball. In this paper, a simple proof of Ball＇s inequality was first provided, then the result of Ball was generalized from John-basis to a sequence of non-zero vectors which are full rank. Furthermore, the upper bound for the volumes of zonotopes was given. Finally the inequalities were deduced for the inradius and circumradius of a certain zonotope.
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